Predstavme si dve družice rotujúce okolo Zeme. Taký príklad predstavujú družice globálneho systém určenia polohy GPS. Z praxe vieme, že ich palubné hodiny idú rýchlejšie, ako hodiny na Zemi. Prevažnú časť odchýlky spôsobuje fakt, že sa hodiny v družiciach nachádzajú v nižšom gravitačnom potenciály, ako hodiny na Zemi. Družice sa však pohybujú relatívnou rýchlosťou voči povrchu zeme. Ako vieme, v sústave, ktorá sa voči pozorovateľovi pohybuje, idú hodiny pomalšie. Táto odchýlka je opačná, ako odchýlka spôsobená gravitačným poľom a výsledok je teda ich rozdiel. Gravitačná odchýlka je podstatne väčšia, takže výsledok je, že hodiny v GPS družiciach idú rýchlejšie, ako na Zemi.
Predstavme si teraz dve geostacionárne družice umiestnené nad rovníkom na opačných stranách Zeme. Obe družice sú v rovnakej výške, teda ich hodiny sú v rovnakom gravitačnom potenciály. Ich relatívna rýchlosť voči povrchu zeme je nulová. Ich palubné hodiny by z pohľadu pozorovateľa na Zemi mali ísť rovnako. No ako idú ich palubné hodiny navzájom? Teda vzhľadom na sústavu družica - družica? Z hľadiska pozorovateľov v družiciach je úloha recipročná, podobne, ako pri paradoxe dvojčiat. Ak totiž umiestnime sústavu do jednej z družíc, pozorovateľ v tejto družici bude vidieť rotovať druhú družicu a o isté platí aj naopak. Samozrejme, dá sa namietať, že sústavu nemôžeme umiestniť do družice, lebo v skutočnosti rotujú okolo ťažiska v strede Zeme a v jej gravitačnom potenciály, čo nie je úloha v zmysle špeciálnej teórie relativity. Aby sme mali nejakú predstavu, musíme problém zjednodušiť na model v zmysle STR.
Majme dve družice, obiehajúce rovnakou rýchlosťou, po kruhovej dráhe, okolo spoločného ťažiska. V každej družici je rotujúca guľôčka. Guľôčka rotuje okolo svojho ťažiska rovnakou rýchlosťou v oboch družiciach, takže ňou môžeme merať čas. Sú to vlastne jej palubné hodiny. Družice obiehajú po kruhovej dráhe s polomerom r1 rýchlosťou ¼ c a v družiciach rotujú okolo svojho ťažiska s polomerom r2 rýchlosťou ¾ c , kde c je rýchlosť svetla. Budeme teda riešiť to, ako vidí pozorovateľ trajektóriu guľôčky v svojej družici a v druhej družici. Použijeme teda známu Einsteinovu rovnicu pre skladanie rýchlostí.
Pokuso riešenie je tu.
Pohľad zo sústavy modrej družice na trajektóriu hodín v červenej družici
Pohľad zo sústavy modrej družice na trajektóriu hodín v červenej družici
Z animácie je vidieť, že počet otáčok hodín vidí pozorovateľ v svojej modrej družici rovnaký, ako v červenej družici. Obeh guľôčky je udalosť a počet udalostí v časopriestore musí byť v každej sústave rovnaký. Samozrejme nemôžme hovoriť o tom istom čase. Poloha družíc v časopriestore predstavuje dva body so 4 súradnicami, ktoré sa líšia nie len priestorovou, ale aj časovou súradnicou. No hodiny v oboch sústavách urobia rovnaký počet otáčok, takže idú rovnako. Dĺžka ramena červených hodín sa ale modrému pozorovateľovi mení. Nie je to len kontrakcia. Zväčšenie, alebo zmenšenie tejto dĺžky závisí od smeru vektora relatívnej rýchlosti.