Schwarschildova metrika

Schwarschildova metrika je riešenie Einsteinovej rovnice pre izolované statické sféricky symetrické teleso. Je to v podstate najjednoduchšie riešenie tejto rovnice. Statickosť riešenia znamená, že, hľadané zložky metrického tenzora nie sú funkciou času. Predpoklad symetrie znamená, že sférická časť matriky zostane nedotknutá, takže zo 4 zložiek metrického tenzora stačí nájsť 2. Prvý predpoklad je akceptovateľný, druhý je skôr estetický. Táto metrika je anizotropická. To znamená, že rýchlosť svetla v tejto sústave podlieha zmene iba v radiálnej zložke. Mimo samotného telesa sa žiadna hmota v priestore nenachádza, (vákuové riešenie), takže pravá strana Einsteinovej rovnice je nulová. V podstate by sme mali riešiť sústavu 4 rovníc, no tie sú lineárne závislé. Skúškou správnosti každej metriky je podmienka, že kovariantná divergencia Einsteinovho tenzora je rovná nule. Je to vlastne matematicky zápis zákona zachovania energie.

Riešenie pohybu testovaného telesa po geodetike, limitne sa blížiaceho k Schwarschildovmu  polomeru, vedie v tejto metrike k singularite. V súradnicovej sústave spojenej s telesom je riešenie spojité, no v sústave vzdialeného pozorovateľa, testované teleso nikdy tento polomer neprekoná. Tento záver by znamenal, že pre nás, ako vonkajších pozorovateľov, sú čierne diery vlastne duté. Problém sa v literatúre vysvetľuje tvrdením, že o žiadnu singularitu vlastne nejde, ale je to spôsobené voľbou nevhodnej súradnicovej sústavy. 

Pokus o riešenie je tu: